三角函数04:三角函数

三角函数

一、小试牛刀

1.求y=√(cosx)+lg(sinx)的定义域

解:由题意cosx>=0,sinx>0,解得定义域为(2kπ,2kπ+π/2],k∈Z.

2.已知sinx+siny=1/3,求t=siny-(cosx)^2的值域

解:由题意sinx∈[-1,1],siny=1/3-sinx∈[-1,1],解得sinx∈[-2/3,1]

又t=1/3-sinx-[1-(sinx)^2]=(sinx)^2-sinx-2/3,由换元结合二次函数知识知:

t函数的值域为[-11/12,4/9]

注:还原要注意新元范围,即第一行的过程非常重要.

 

二、三角函数的周期性

1.周期函数定义:对定义域中每一个x,都有f(x+T)=f(x),其中T是非零常数,则T是f(x)的一个周期.

2.最小正周期:不是所有周期函数都有最小正周期.

3.物体简谐振动规律:y=Asin(ωx+φ)

其中A是振动的振幅:离开平衡位置的最大距离;

T=2π/ω,T是周期:完成一次振动需要的时间;

f=1/T,f是频率:单位时间内震动的次数;

ωx+φ是相位,其中φ叫做初相(x=0时的相位).

4.图像变换:

(1)一般地,函数y=Asin(x+φ)的图像可以看作是将函数y=sinx的图像上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度得到的.

(2)一般地,函数y=Asinx(A>0且A≠1)的图像可以看作是将函数y=sinx的图像上所有的点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)而得到的.

(3)一般地,函数y=sinωx(ω>0且ω≠1)的图像可以看作是将函数y=sinx的图像上所有的点的横坐标变为原来的1/ω倍(纵坐标不变)而得到的.

 

 

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