平面向量02:向量的线性运算

向量的线性运算

一、加法

1.平行四边形法则

在平面上任取一点O,作OA=aOB=b,再作平行四边形OACB,则a+b=OA+OB=OC.

2.三角形法则

在平面上作OA=aAB=b,则a+b=OA+AB=OB.

3.运算律

(1)a+b=b+a.

(2)(a+b)+c=a+(b+c).

(3)a+(-a)=0.

4.注

(1)a+0=a.

(2)||a|-|b||<=|a+b|<=|a|+|b|.

(3)多边形法则:A1A2+A2A3+......+AnAn+1=A1An+1.

 

二、减法

减法是加法的逆运算,简而言之:同起点的向量相减,终点相连,箭头指向被减向量.

 

三、数乘

1.定义:λa,λ为实数.

大小:|λa|=|λ||a|.

方向:λ>0,λaa同向;λ<0,λa与λ反向;λ=0,λa=0.

2.运算律

(1)(λ+μ)aaa.

(2)λ(a+b)=λab.

(3)λ(μa)=(λμ)a.

3.向量共线定理

对于aba0),若存在实数λ使ba,则ab共线;若ab共线,则有且仅有一个实数λ,使ba.

 

四、平面向量基本定理

平面内,e1e2不共线,a是该平面内任何一个向量,则有且仅有一对实数λ1,λ2,使a1e12e2.

注:不共线的e1e2叫做一对基底,当e1e2所在直线相互垂直时又被称为正交基底.

 

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