平面向量04:向量的数量积

向量的数量积

一、数量积

1.向量的夹角

在平面内作OA=aOB=b,则∠AOB为ab的夹角,记作<a,b>.

<a,b>=0,ab同向;

<a,b>=π,ab反向;

<a,b>=π/2,ab.

注:<a,b>∈[0,π].

2.数量积的定义

(1)若a0b0,则a·b=|a||b|cos<a,b>.注:“a·b”中的“·“不可省略!

(2)规定:0·a=0.区别:0·a=0

(3)常用式子:

a·a=|a||a|cos0=|a|^2,记作a^2,即a^2=|a|^2,|a|=√(a^2).

②若ab,则a·b=0.

③-|a||b|<=a·b<=|a||b|.

3.运算律

(1)a·b=b·a.

(2)(λab=λ(a·b).

(3)a·(b+c)=a·b+a·c.

(4)不满足a·(b·c)=(a·bc,也不满足等式左右约分规律.

 

二、数量积的坐标运算

a=(x1,y1),b=(x2,y2).

a·b=x1x2+y1y2

ab等价于x1x2+y1y2=0,

cos<a,b>=(x1x2+y1y2)/[√(x1^2+y1^2)·√(x2^2+y2^2)].

 

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