利用等式求最小(大)值

【题目】 已知a,b∈R,a2-2ab+5b2=4,求ab的最小值.

【解答】

方法一:利用简单的不等式

因为(x+y)2>=0,所以x2+y2>=-2xy,

将a2,5b2代入x2,y2的位置可得到a2+5b2>=-2·a·√5·b(1),

另一方面由已知等式可以得到a2+5b2=2ab+4,

代入(1)式可得2ab+4>=-2√5·ab,

解得ab>=(1-√5)/2,

所以ab最小值为(1-√5)/2.

 

方法二:利用三角换元

因为原等式可配方形成(a-b)2+(2b)2=4,

联想(sinθ)2+(cosθ)2=1这个等式,

可令a-b=2cosx,2b=2sinx,

则a=2cosx+sinx,b=sinx,

所以

ab=(2cosx+sinx)·sinx

=2sinx·cosx+(sinx)2

=sin2x+(1-cos2x)/2        //此处运用降幂公式

=(√5/2)·sin(2x-φ)+1/2        //此处运用辅助角公式

其中上式中的φ满足cosφ=2/√5,sinφ=1/√5.

所以ab最小值为(1-√5)/2.

 

【拓展】已知a,b∈R,a2-2ab+5b2=4,求ab的最大值.

仿照方法一,可利用不等式x2+y2>=2xy;

仿照方法二,答案直接得出.

有兴趣的读者不妨一试.

答案:(1+√5)/2.

Tags: 不等式  最小值  三角换元   | 分类:好题多解:不等式专题 | 评论:0 | 引用:0 | 浏览:
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