无理数是如何被发现的?

我们都知道,实数包括有理数和无理数,在日常生活中,接触到的多为有理数,有理数极多,密密麻麻地排布在数轴上,即便如此,无理数还见缝插针地往里塞,这在数学中称为“稠密性”,即任意两个不相等的实数之间,不管挨得多近,总有另一个实数赖在中间不走。那么,聪明的古数学大师是怎么发现无理数存在的呢?

这和勾股定理有着莫大的关系,我们都知道,在直角三角形中,直角边a、b和斜边c满足:a2+b2=c2,其中蕴含着平方和开方运算,这样必然会出现对整数开方不尽的情况。

约在4000多年以前,美索不达米亚人在计算边长为1的正方形的对角线长时,发现了无理数√2的存在,虽然没有给出严格定义,但擅长计算的数学大师采用递归法找到了一个无限接近√2的有理数,人们在楔形文字泥板中精确到小数点后1000000位。

发现无理数,这得归功于古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯的弟子——希帕索斯。也是在求正方形的对角线时,希帕索斯发起了愁,这到底是个什么数?

根据老师所讲,“万数皆数”,“1是所有数的生成元”,“宇宙的一切都归结于整数和整数之比”,既然能用合适的整数来表示对角线,那么,能否用两个整数比来描述呢?希帕索斯花了很长时间,仍是一无所获。

这到底是什么呢?除了整数和整数比(即分数)外,世上还有别的数吗?带着疑问,希帕索斯找到了老师毕达哥拉斯,谁知,看到推翻了“万物皆数”的观点后,毕达哥拉斯没有“江山代有才人出“的自豪,反而非常惊慌,担心学生的发现会动摇学派的根基,便将希帕索斯囚禁起来,最终残忍地将他丢进大海,这是数学史上的一个悲剧。

但是,秘密并没有被隐藏很久,人们最终还是知道了这些数的存在。

15世纪时,著名画家达·芬奇称之为”无理的数“。17世纪时,德国天文学家开普勒称之为”不可名状的数“,毕达哥拉斯学派的”无理“之举,夺去了希帕索斯的生命,为了纪念这位为真理献身的学者,人们把这种”不可公度比“的数称为”无理数“,而像√2这种记法,最开始是由数学家笛卡尔提出的,沿用至今。   

无理数的被发现看似攻破了毕达哥拉斯派的理论基石,其实非也,只是当时的知识体系并没有现在这般完整,在现代实数理论中,无理数可定义为有理数的极限,如此看来,”万数皆整数“的思想没什么不对,这是毕达哥拉斯这位数学大师没有料到的,不知他老人家如果地下有知,有没有后悔过,抹杀真理,迫害自己的弟子呢?

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